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这是一篇英国作业主要为Infinite Dimensional vecter space的数学作业限时测试
1. A (i) 令 X 为向量空间。说 k k 是一个范数是什么意思
在 X 上
(ii) 对于 1 p 1，准确地说出序列是什么意思
x = (x1; x2; : : : ) 的复数属于`p
.写下定义
`p 上的（标准）范数
. [3 分]
B 让 1 < p; r < 1. 给出一个充分必要条件（在 p 和 r) 的项，用于连续嵌入 `p `r 保持真实。证明 你的条件既必要又充分。直接从 定义。 [11分] C 如果对于每个 > 0 存在 > 0，则称 Banach 空间为一致凸空间
使得 kxk = kyk = 1 和 k1
2 (x + y)k > 1 意味着 kx yk < “。 证明任何希尔伯特空间都是一致凸的。 你可以在没有证明的情况下使用平行四边形定律 kx + yk2 + kx yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 ： [11分] 2. A 让 1 p < 1. 准确地说明函数 f : [0; 1]！ C属于Lp ([0; 1])。定义这个空间的（通常）范数。 [3 分] B 是否存在函数 f 2 L1 (R) 使得 limsupx!1 f(x) = 1 证明你的答案是合理的。 [11分] C 举一个集合 A L2 的例子 ([0; 1])，在 L2 中是无界的 ([0; 1]), 但有界于 L1 ([0; 1])。 [11分] 3. A (i) 陈述复线性空间上内积的公理。 (ii) 陈述（但不证明）希尔伯特中的 Riesz 表示定理 空间。 [3 分] B 令 M 是希尔伯特空间 H 的一个闭子空间，并假设 T : M ！ C 是有界线性泛函。证明存在一个有界线性 功能 S：H！ C 使得 M 上的 S = T 且 kSk = kTk。 您可以使用课程中有关希尔伯特空间的任何结果，但您可以 不使用 Hahn-Banach 定理。 [8 分] C 令 X 为希尔伯特空间。证明下列断言为真或 提供反例证明它们是错误的： (i) 如果 M 是 X 的稠密线性子空间，那么 M = f0g。 (ii) 如果 M 是 X 的线性子空间，使得 M = f0g，那么 M 是稠密的。 这里M表示 X 中 M 的正交补。 [14 分] 1. A (i) Let X be a vector space. What does it mean to say that k k is a norm on X (ii) For 1 p 1, state precisely what it means to say that the sequence x = (x1; x2; : : : ) of complex numbers belongs to `p . Write down the denition of the (standard) norm on `p . [3 marks] B Let 1 < p; r < 1. Give a necessary and sucient condition (explicitly in terms of p and r) for the continuous embedding `p `r to hold true. Prove that your condition is both necessary and sucient. Argue directly from the denitions. [11 marks] C A Banach space is called uniformly convex if for every ” > 0 there exists > 0
such that kxk = kyk = 1 and k1
2 (x + y)k > 1 imply that kx yk < “. Prove that any Hilbert space is uniformly convex. You may use without proof the parallelogram law kx + yk2 + kx yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 : [11 marks] 2. A Let 1 p < 1. State precisely what it means to say that a function f : [0; 1] ! C belongs to Lp ([0; 1]). Dene the (usual) norm on this space. [3 marks] B Does there exist a function f 2 L1 (R) such that limsupx!1 f(x) = 1 Justify brie y your answer. [11 marks] C Give an example of a set A L2 ([0; 1]), which is unbounded in L2 ([0; 1]), but bounded in L1 ([0; 1]). [11 marks] 3. A (i) State the axioms of an inner product on a complex linear space. (ii) State (but do not prove) the Riesz representation theorem in a Hilbert space. [3 marks] B Let M be a closed subspace of a Hilbert space H and suppose that T : M ! C is a bounded linear functional. Show that there exists a bounded linear functional S : H ! C such that S = T on M and kSk = kTk. You may use any result about Hilbert spaces from the course but you may not use the Hahn-Banach theorem. [8 marks] C Let X be a Hilbert space. Prove that the following assertions are true or provide counterexamples showing that they are false: (i) If M is a dense linear subspace of X, then M = f0g. (ii) If M is a linear subspace of X such that M = f0g, then M is dense. Here M denotes the orthogonal complement of M in X. [14 marks]