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这是一篇英国作业主要为随机过程的Problem Set
1.令（; F; P）为i.i.d的概率空间。随机变量（Yn）n1是
确定。假设E [Yk] = 0和E [Y 2
k] =2
令Y0 = 0。
Xn =
X
k = 0
k
！2
·n2
;
对于每个n0。令（Fn）n0是（Yn）n0的自然筛选。证明（Xn）n0为
mar wrt（Fn）n0。
2.令M =（Mn）n0为w（Fn）n0。令（Gn）n0为
（Fn）n0，即GnFn； 8n。对于每个n，Dene Xn = E [MnjGn]。证明（Xn）n0是一个
ting wrt（Gn）n0。
3.令（Xn）n0为w（Fn）n0。证明对于任何整数k·l·m
差异XmXl与Xk不相关。那是，
E [（XmXl）Xk] = 0：
4.令X1; X2; ：：：是独立的，并且均匀分布，其中á（μ）= E（expfμX1g）< 1.进一步，令（Fn）n0为（Xn）n0的自然比率，Sn = S0 + X1 + ::: + Xn。 显示： i）（Mn）n0与 Mn = expngSng á（μ）n 是关于（Fn）n0的mar。 ii）（Zn）n0，其中Zn = expfμSng; μ> 0；是关于（Fn）n0的子集市
如果随机变量Xn是标准正态分布的。计算E [Zn]。
1. Let (-;F; P) be a probability space on which the i.i.d. random variables (Yn)n1 are
deˉned. Suppose E[Yk] = 0 and E[Y 2
k ] = 2
and let Y0 = 0. Let
Xn =
n X
k=0
Yk
!2
n2
;
for each n 0. Let (Fn)n0 be the natural ˉltration of (Yn)n0. Show that (Xn)n0 is
a martingale wrt (Fn)n0.
2. Let M = (Mn)n0 be a martingale wrt (Fn)n0. Let (Gn)n0 be a subˉltration of
(Fn)n0, i.e Gn Fn; 8n. Deˉne Xn = E[MnjGn], for each n. Show that (Xn)n0 is a
martingale wrt (Gn)n0.
3. Let (Xn)n0 be a martingale wrt (Fn)n0. Show that for any set of integers k · l · m
the dierence Xm Xl is uncorrelated with Xk. That is,
E[(Xm Xl)Xk] = 0:
4. Let X1;X2; : : : be independent and identically distributed with á(μ) = E(expfμX1g) < 1. Further, let (Fn)n0 be the natural ˉltration of (Xn)n0, and Sn = S0+X1+: : :+Xn. Show that: i) (Mn)n0 with Mn = expfμSng á(μ)n is a martingale with respect to (Fn)n0. ii) (Zn)n0 with Zn = expfμSng; μ > 0; is a submartingale with respect to (Fn)n0
if the random variables Xn are standard-normal distributed. Calculate E[Zn].