EE 503: Problem Set #10 Due Monday Apr. 12, 2021 (9pm)
一，独立的高斯噪声
令X和N为独立随机变量。假设X在{-1,0,1}上是统一的（在所有3个选项上均相同）。假设N是高斯N0，σ2.DefineY= X + N。
a）找到CDF FY（y）和PDF fY（y）。
b）找到条件CDF FY | X = 1（y）和条件PDF fY | X = 1（y）。 c）查找P [X = 1 | Y≥1]
d）求出P（X + Y）2≤1 /2。
e）找出E [Y]和Var（Y）。
二。计算fX | Y（x | y）
令Y = X2R，其中X，R与X高斯N（0,1）和R指数独立且参数λ> 0 a）Fory>0andx= 0，通过使用FY | X = x（y ）= P [Y≤y| X = x]。
b）对于y> 0且x= 0，通过使用（X，R）→（X，Y）的PDF转换找到fX | Y（x | y）以找到fX，Y（x，y）。
三， fX | Y（x | y）的另一种计算
令Y = RX，其中R，X为i.d.高斯N（0，1）。
a）通过使用FY | X = x（y）= P [Y≤y| X = x]查找fX | Y（x | y）。请记住分别处理x> 0和x <0的情况。 b）通过使用（X，R）→（X，Y）的PDF转换来找到fX | Y（x | y）以找到fX，Y（x，y）。 IV。高斯的线性组合 令X，Y，Z为相互独立的高斯随机变量。假设X具有均值1和方差2，Y具有均值0和方差1，Z具有均值-8和方差1/2。令W ＝ Z -2X + Y / 4。为所有w∈R计算PDF fW（w）。使用Q（）函数找到P [W> -9]。
假设X为以下PDF：
五，PDF转换方法
fX（x）= 1，-∞ 0 a)Fory>0andx=0,findfX|Y(x|y)byusingFY|X=x(y)=P[Y ≤y|X=x].
b) For y > 0 and x = 0, find fX|Y (x | y) by using the PDF transformation for (X, R) → (X, Y ) to find fX,Y (x, y).
III. ANOTHER COMPUTATION OF fX|Y (x|y)
Let Y = RX where R, X are i.i.d Gaussian N (0, 1).
a)FindfX|Y(x|y)byusingFY|X=x(y)=P[Y ≤y|X=x].Remembertotreatcasesx>0andx<0separately. b) Find fX|Y (x | y) by using the PDF transformation for (X, R) → (X, Y ) to find fX,Y (x, y). IV. LINEAR COMBINATION OF GAUSSIAN Let X, Y, Z be mutually independent Gaussian random variables. Assume X has mean 1 and variance 2, Y has mean 0 and variance 1,Z has mean 8 and variance 1/2. Let W = Z 2X +Y/4. Compute the PDF fW(w) for all w ∈ R. Use the Q() function to find P [W > 9].

Suppose that X as the following PDF:

V. PDF TRANSFORMATION METHOD
fX (x) = 1 , ∞ < x < ∞ π(1+x2) Let Y = a . Find the PDF of Y using PDF transformation. 1+X2 VI. ANOTHER PDF TRANSFORMATION PROBLEM Suppose that X follows a U [2, 1] distribution. Let Y = 2X 2 1. Find the PDF of Y . VII. BOOK PROBLEM 5.35 For part (c), your answer should depend on the value of p. Find out the values of p for which X = 1 is more likely and the values of p for which X = 1 is more likely. VIII. BOOK PROBLEM 5.101 IX. BOOK PROBLEM 4.92 (A) AND (B)