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这是一篇是完成计量经济学相关的问题
ECON6003: Econometric Analysis
Q1。 （35分）结构模型为：
yi = x
′
iβ+ ei
，我= 1,。 。 。 ，n。
假设有一套工具zi
，其尺寸与回归变量的数量相同。
（i。）（6分）这套工具在哪些条件下有效且相关说明
（ii。）（6分）写下估计β所需的两组GMM矩条件
在假设E [xiei
] = 0和E [ziei
] = 0。
（iii。）（4分）设OLS估计值为β，OLS残差为ei = yi x
′
iβ，i = 1 ，。 。 。 ，n
令IV估计量为β，IV残差为ei = yi-x
′
iβ，i ＝ 1，…。 。 。 ，n。如果是
确实，E [xiei
]= 0，在某种意义上，IV将比OLS更适合
∑n
i = 1
e
2
我< ∑n i = 1 2 一世 ， 至少在大样本中讨论。 （iv。）（4分）假设您有两个独立且分布均匀的 观察（yi ， X ′ 一世 z ′ 一世 ），大小分别为n1和n2。令β 1和β 2是基于的IV估计量 样本1和样本2。 β的概率极限是多少 1和 β 2这些估计中的任何一个是否与β一致 （v。）（5分）假设β0是两个β的概率极限 1和β 2.找到渐近线 √的分布 n1（β 1 β0）和√ n2（β 2 β0）。 （vi。）（5分）现在考虑将两个样本合并在一起，并获得合并的IV估计量： β= （∑ n1，n2 ix ′ 一世 -1 ∑ n1，n2 子怡 。 求出β的概率极限（βpool）和√的渐近分布 n（β-βpool）， 其中n = n1 + n2。 （vii。）（5分）最后，考虑两个IV估计量的平均值β 1和β 2： β= 1个 2 （β 1 +β 2）。 令p = n1 / n并假定该比例固定为n→∞。找到概率 极限βavg和√的渐近分布 n（βˉ-βavg）。 Q2。 （15分）假设您对（yi ，xi）：（1，0），（0，1）和 （1，-1）。 （i。）（5分）计算yi的线性回归（没有常数）的OLS估计量 xi ，β。 （您需要提供数字，而不是公式） （ii。）（5分）查找所有可能的引导样本，并从原始样本中进行替换并重新采样 采样并计算OLS估计量β 对于每个引导程序样本。 （iii。）（5分）求出β 分布的第25、50和75个百分位数 。找到50％ Efron的百分位数间隔为β。 Q3. (25 points) Suppose you have a random sample yi , i = 1, . . . , n, from a distribution such that E[yi ] = 0 and V ar(yi) = σ 2 . (i.) (2 pts) Find the asymptotic distribution of √ nyˉ, where yˉ = 1 n ∑n i=1 yi is the sample average. (ii.) (6 pts) Find the asymptotic distribution of C(σ 2 ) = n σ 2 yˉ 2 . Is C(σ 2 ) asymptotically pivotal for σ 2 Explain. (iii.) (6 pts) Using the result in (ii) provide an asymptotic 95% confidence interval for σ 2 (if you did not find the asymptotic distribution at point (ii) write the confidence interval in terms of a generic random variable Z, such that C(σ 2 ) d → Z). (iv.) (6 pts) You are particularly interested in the following hypothesis testing H0 : σ 2 = 2 H1 : σ 2 > 2
Find the rejection region of the test with asymptotic size 5%.
(v.) (5 pts) A friend suggests that the actual value of σ
2
is 3. What is the probability of
rejecting the null hypothesis above if your friend is right What about the power of the
test
STATISTICAL TABLES
Table 1: Critical values of the t distribution
Significance level
1-tailed .10 .05 .025 .01 .005
2-tailed .20 .10 .050 .02 .010
Degrees of freedom
30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750
60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660
∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
Table 2: Quantiles of the χ
2 distribution.
Degrees
of freedom
p
0.025 0.1 0.5 0.90 0.95 0.975
1 0.000 0.016 0.455 2.706 3.841 5.024
2 0.051 0.211 1.386 4.605 5.991 7.378
3 0.216 0.584 2.366 6.251 7.815 9.348
4 0.484 1.064 3.357 7.779 9.488 11.143
5 0.831 1.610 4.351 9.236 11.070 12.832