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这是一篇英国作业主要为统计相关的限时测试
A12 Simulation And Statistical Programming
1.令p（x）为截断的高斯随机变量的密度
p（x）/ e
（x）2
2 2 1倍
其中2 R; 2> 0和2 R是参数。
（a）[10分]
（i）（工作簿-4）编写一个伪代码算法，用于使用pdf p模拟X
反转方法（您可以假设您可以访问函数（x）=
P（Z x）z其中Z为标准正态变量，其反数为1）。
答：
步骤1模拟u U [0; 1]。
步骤2
P（X x）= P（N（;）xjX）
= P（N（;）2 [; x] = P（X）
=
H
（（x）=）（（）=）
一世
=（1（（）=））
因此
z = F 1
X（u）= + 1





+你

1个



有正确的分配。
（ii）假设我们要使用提案g用pdf f模拟变量X。描述
拒绝采样算法，说明f和g必须满足哪些假设
并给出算法效率的表达式（
必须模拟变量Y g以获得X f）的一个样本，您必须
证明合法。
ANS（B-3）：关于f的条件； g是必须存在M使得f = g M.
步骤1：模拟Y g和U U [0; 1]。步骤2：如果MU f
g（Y）接受并返回
X = Y否则转到1。 P（接受）＝ 1 ＝ M。因此平均试验次数为M。
（iii）假设我们模拟Y1； Y2; ：：：i.i.d.带有定律N（; 2）的随机变量直到
生成的数字大于。解释布里
y为什么这是拒绝
p的采样算法，并计算每次模拟的平均试验次数。
Ans（S-3）：
这里我们有e p（x）= e
2 2 1x和p（x）=（2 2）1 = 2e p（x）= Zp
Zp =（


）= P（Z

）
其中Z是标准高斯。因此，p = q 1 = Zp和平均试验次数
是
1 =（


）
显然，MU p
q（Y），Y。
（b）[15分]我们自此假设= 0，因此
p（x）/ e
2倍
2 2 1倍
令q（x）为参数> 0的转换后指数变量的密度
q（x）= q（xj;）= exp（（x））1x：
（i）计算最小上限M
p（x）
q（x）
M; x：
提示：您可以区分大小写和<。 回答（S / N-3）：如果>
exp（（z））exp（z2
= 2）exp（2
= 2）
如果
exp（（z））exp（z2
= 2）exp（2
= 2）
所以
M =
8
< ： p2 [1（）] exp（2 = 2）如果 p2 [1（）] exp（2 = 2）else （ii）使用提案为p的拒绝采样算法编写伪代码 分布q在可能的情况下进行适当的简化。 （你可以 假设您可以直接生成均值1的指数随机变量）。 ANS（B-2）：步骤1：通过z = + Z1 =生成z Exp（;），其中Z1是a 指一个指数。步骤2：如果>和，则计算（z）= exp（（z）2 = 2）
（z）= exp（（）2 = 2）exp（（z）2 = 2）否则。步骤3;接受u（z）：
否则转到1。
（iii）上述算法被接受的概率是多少
Ans（S / N-3）：案例。取z Exp（;）
E [（z）] = E [expf（z）
2个
= 2g]
=
11
0
e（（）u）2 = 2
乌杜
=
11
0
e（u +）2 = 2
1号
2 [（）2 2]
杜
= exp（2
= 2）
11
0
e（u +）2 = 2
杜
= exp（2
= 2）（）
p
2：
情况<。 E [（z）] = exp（（） 2个 = 2）E [expf（z） 2个 = 2g] = exp（2 = 2）（） p 2： 1. Let p(x) be the density of a truncated Gaussian random variable p(x) / e (x )2 22 1x where 2 R; 2 > 0 and 2 R are parameters.
(a) [10 marks]
(i) (bookwork – 4) Write a pseudocode algorithme for simulating X with pdf p using
the inversion method (you can assume that you have access to the function (x) =
P(Z x) zhere Z is a standard normal variable and its inverse 1).
Ans:
Step 1 Simulate u U[0;1].
Step 2 Since
P(X x) = P(N(; ) xjX )
= P(N(; ) 2 [; x]=P(X )
=
h
((x )=) (( )=)
i
=(1 (( )=))
Thus
z = F 1
X (u) = + 1

+ u

1

has the right distribution.
(ii) Suppose we want to simulate a variable X with pdf f using a proposal g. Describe
the rejection-sampling algorithm stating what assumptions f and g must satisfy
and give an expression for the eciency of the algorithm (the mean number of
variables Y g one must simulate to get one sample of X f) which you must
justify.
ANS (B – 3): The condition on f; g is that there must exists M such that f=g M.
Step 1: Simulate Y g and U U[0;1]. Step 2: If MU f
g (Y ) accept and return
X = Y . Otherwise goto1. P(accept) = 1=M. so mean number of trials is M.
(iii) Suppose that we simulate Y1; Y2; : : : i.i.d. random variables with law N(; 2) until
the generated number is larger than . Explain brie
y why this is a rejection
sampling algorithm for p and calculate the average number of trials per simulation.
Ans (S – 3):
Here we have that e p(x) = e
22 1x and p(x) = (22) 1=2e p(x)=Zp with
Zp = (

) = P(Z

)
where Z is a standard Gaussian. Thus, p=q 1=Zp and the mean number of trials
is
1=(

)
Clearly, MU p
q (Y ) , Y .
(b) [15 marks] We henceforth assume that = 0 so that
p(x) / e
x2
22 1x
Let q(x) be the density of a translated exponential variable with parameter > 0
q(x) = q(xj; ) = exp( (x ))1x:
(i) Calculate the least upper bound M such that
p(x)
q(x)
M; x :
Hint: you may distinguish the cases and < . Ans (S/N – 3) : if >
exp((z )) exp( z2
=2) exp(2
=2 )
if
exp((z )) exp( z2
=2) exp( 2
=2)
so
M =
8
< : p2[1 ()] exp( 2=2 ) if p2[1 ()] exp( 2=2) else (ii) Write the pseudocode for a rejection sampling algorithm for p using the proposal distribution q making the appropriate simplications when possible. (you may assume that you can directly generate a mean 1 exponential random variable). ANS (B – 2): Step1: generate z Exp(; ) by z = + Z1= where Z1 is a mean one exponential. Step 2 : compute (z) = exp( ( z)2=2) if > and
(z) = exp( ( )2=2) exp( ( z)2=2) otherwise. Step 3 ; Accept if u (z):
Otherwise goto1.
(iii)What is the probability of acceptance in the above algoithm
Ans (S/N – 3) : case . Take z Exp(; )
E[(z)] = E[expf ( z)
2
=2g]
=
Z 1
0
e (( ) u)2=2
e udu
=
Z 1
0
e (u+)2=2
e 1
2 [( )2 2]
du
= exp( 2
=2)
Z 1
0
e (u+)2=2
du
= exp( 2
=2)( )
p
2:
case < . E[(z)] = exp(( ) 2 =2)E[expf ( z) 2 =2g] = exp(2 =2)( ) p 2: